Перевод целого числа в двоичную систему. Двоичные числа, цифры и двоичная система счисления
Чтобы быстро переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, нужно хорошо знать числа "2 в степени". Например, 2 10 =1024 и т.д. Это позволит решать некоторые примеры на перевод буквально за секунды. Одной из таких задач является задача A1 из демо ЕГЭ 2012 года . Можно, конечно, долго и нудно делить число на "2". Но лучше решать по-другому, экономя драгоценное время на экзамене.
Метод очень простой. Суть его такая: если число, которое нужно перевести из десятичной системы, равно числу "2 в степени", то это число в двоичной системе содержит количество нулей, равное степени. Впереди этих нулей добавляем "1".
- Переведем число 2 из десятичной системы. 2=2 1 . Поэтому в двоичной системе число содержит 1 нуль . Впереди ставим "1" и получаем 10 2 .
- Переведем 4 из десятичной системы. 4=2 2 . Поэтому в двоичной системе число содержит 2 нуля . Впереди ставим "1" и получаем 100 2.
- Переведем 8 из десятичной системы. 8=2 3 . Поэтому в двоичной системе число содержит 3 нуля . Впереди ставим "1" и получаем 1000 2.
Аналогично и для других чисел "2 в степени".
Если число, которое нужно перевести, меньше числа "2 в степени" на 1, то в двоичной системе это число состоит только из единиц, количество которых равно степени.
- Переведем 3 из десятичной системы. 3=2 2 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 2 единицы . Получаем 11 2.
- Переведем 7 из десятичной системы. 7=2 3 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 3 единицы . Получаем 111 2.
На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым цветом-десятичное.
Аналогичен перевод и для других чисел "2 в степени-1".
Понятно, что перевод чисел от 0 до 8 можно сделать быстро или делением, или просто знать наизусть их представление в двоичной системе. Я привела эти примеры, чтобы Вы поняли принцип данного метода и использовали его для перевода более "внушительных чисел", например, для перевода чисел 127,128, 255, 256, 511, 512 и т.д.
Можно встретить такие задачи, когда нужно перевести число, не равное числу "2 в степени", но близкое к нему. Оно может быть больше или меньше числа "2 в степени". Разница между переводимым числом и числом "2 в степени" должна быть небольшая. Например, до 3. Представление чисел от 0 до 3 в двоичной системе надо просто знать без перевода.
Если число
больше
, то решаем так:
Переводим сначала число "2 в степени" в двоичную систему. А потом прибавляем к нему разницу между числом "2 в степени" и переводимым числом.
Например, переведем 19 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени" на 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Если число меньше числа "2 в степени", то удобнее пользоваться числом "2 в степени-1". Решаем так:
Переводим сначала число "2 в степени-1" в двоичную систему. А потом вычитаем из него разницу между числом "2 в степени-1" и переводимым числом.
Например, переведем 29 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени-1" на 2. 29=31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Если разница между переводимым числом и числом "2 в степени" больше трех , то можно разбить число на составляющие, перевести каждую часть в двоичную систему и сложить.
Например, перевести число 528 из десятичной системы. 528=512+16. Переводим отдельно 512 и 16.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Теперь сложим столбиком:
В данной статье я расскажу основы компьютерной техники - это двоичная система. Это самый низкий уровень, это числа по которым работает компьютер. И вы узнаете как переводить из одной системы
Таблица 1 - Представление чисел в различных системах
исчисление (начало)
Системы счисления |
||||
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
двоично-десятичная |
Для того чтобы перевести из десятичной в двоичную, можно использовать два варианта.
1) К примеру число 37 нужно перевести из десятичной системы в двоичную, то нужно его делить на два, а затем проверять остаток от деления. Если остаток нечетный, то в низу мы подписывает единицу и следующий цикл деления идет через четное число, если останок от деления четный, то пишим ноль. На конце обязательно должна получиться 1. А теперь полученный результат мы преобразуем в двоичный, причем число идет справа на лево.
Пошагово: 37 - это число нечетное, значит 1 , затем 36/2 = 18. Число четное, значит 0 . 18/2 = 9 число нечетное, значит 1 , затем 8/2 = 4. Число четное, зачит 0 . 4/2 = 2, число четное значит 0 , 2/2 = 1 .
Итак, мы получили число. Не забудьте счет идет справа налево: 100101 - вот мы получили число в двоичной системе. А вообще это записывается в виде деления в столбик, как вы видите ниже на рисунке:
2) Но есть второй способ. Он мне больше нравиться. Перевод из одной системы в другую идет в следующем виде:
где ai - i-я цифра числа;
k - количество цифр в дробной части числа;
m - количество цифр в целой части числа;
N - основание системы исчисления.
Основание системы счисления N показывает, во сколько раз "вес" i-го разряда больше "веса" (i-1) разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).
Целая часть числа AN1, с основой N1, переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного деления целой части числа AN1 на записанную в виде числа с основанием N1 основу N2, до получения остатка.Полученная доля снова делится на основание N2, и этот процесс необходимо повторять, пока частица не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления и последняя часть записываются в порядке, обратном полученном при делении. Сформированное число и будет целым числом с основанием N2.
Дробная часть числа AN1, с основой N1, переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного умножения дробной части числа AN1 на основание N2, записанную в виде числа с основанием N1. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а дробная часть оставшейся принимается за новую умножений. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющий дробную часть числа AN1 в системе счисления N2. Дробная часть числа при переводе часто представляется неточно.
Давайте это сделаем на примере:
Перевод с десятичной в двоичную
37 в десятичной нужно перевести в двоичную. Давайте поработаем со степенями:
2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024 и так далее... до бесконечности
Значит: 37 - 32 = 5. 5 - 4 = 1. Ответ следующий в двоичной системе: 100101.
Давайте переведем число 658 из десятичной в двоичную:
658-512=146
146-128=18
18-16=2. В двоичной системе число будет иметь вид: 1010010010.
Перевод с десятичной в восмеричную
Если вам надо перевести с десятичной в восьмеричную, необходимо сначала перевести в двоичную, а затем с двоичной перевести в восьмеричную. То есть так проще, хотя можно и сразу перевести. По алгоритму подобному как в переводе в двоичную, см. выше.
Перевод с десятичной в шестнадцатеричной
Если вам надо перевести с десятичной в шестнадцатеричную, необходимо сначала перевести в двоичную, а затем с двоичной перевести в шестнадцатеричную. То есть так проще, хотя можно и сразу перевести. По алгоритму подобному как в переводе в двоичную, см. выше.
Перевод с двоичной в восмеричную
Чтобы перевести число из двоичной в восьмиричную систему нужно двоичное разбить по три числа.
К примеру полученное число 1010010010 разбивает по три числа, причем разбивка идет справа налево: 1 010 010 010 = 1222. Смотрите таблицу в самом начале.
Перевод с двоичной в шестнадцатеричную
Чтобы перевести число из двоичной в шестнадцатеричное, надо разбить на тетрады (по четыре)
10 1001 0010 = 292
Привожу несколько примеров, для того, чтобы вы просмотрели:
Перевод осуществляется из двоичной в восьмиричную, затем в шестнадцатеричную, а затем из двоичной десятичную
(2) = 11101110
(8) = 11 101 110 = 276
(16) = 1110 1110 = EE
(10) = 1*128+ 1*64+ 1*32+ 0 +1*8 + 1*4 + 1*2+ 0= 238
3) (8) = 657
Перевод осуществляется из шестнадцатеричной в двоичную, затем в восьмиричную, а затем из двоичной десятичную
(16) = 6E8
(2) = 110 1110 1000
(8) = 11 011 101 000 = 2250
(10) = 1*1024+1*512+ 0 +1*128+ 1*64+ 1*32+ 8 = 1768
Результат уже получен! Системы счисленияСуществуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля: Тогда число 6372 можно представить в следующем виде: 6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 . Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа. Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо: Тогда число 1287.923 можно представить в виде: 1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 . В общем случае формулу можно представить в следующем виде: Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления. Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.
Перевод чисел из одной системы счисления в другуюДля перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисленияС помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления. Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение: 1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125 Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение: Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение: Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15. Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисленияДля перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа. Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС. Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:
Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать: 159 10 =10011111 2 . Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.
При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать: 615 10 =1147 8 . Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9. Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат). Рассмотрим вышеизложенное на примерах. Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 . Следовательно можно записать: 0.214 10 =0.0011011 2 . Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат: 0.125 10 =0.001 2 . Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем: 0.214 10 =0.36C8B4 16 . Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.
Получили: 0.512 10 =0.406111 8 . Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим: 159.125 10 =10011111.001 2 . Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим. Сдающим ЕГЭ и не только… Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке. Например, нужно перевести число 810 10 в двоичную систему: Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102 Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить? В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7. Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией. Таблица степеней числа 2:
Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните. Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:
Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям. Перевод целых чисел Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.
Способ 1 : Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля. Способ 2 : Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего. 810 = Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?». Ответ - столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5. Теперь пример попроще. Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 - это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2. Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 . Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда. Переведем в двоичную систему число 547 8 .
Ещё одно, например 7D6A 16 .
Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 . Перевод отрицательных чисел Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать - в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный. Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1. Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт. Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001 . Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ - 4. Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000. Перевод дробных чисел Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются. Переведем число 0,6752 в двоичную систему.
Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке. Получается 0,6752 = 0,101011 . Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011 . Инструкция Видео по теме
В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы , в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую. Вам понадобится
Инструкция Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа , начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее. Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86. Обратная задача - десятичного числа
систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу. Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числа м от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x. Чтобы число из шестнадцатеричной системы , нужно каждую его цифру умножить на соответствующую степень шестнадцати и сложить результаты. Например, число #11A в десятичной записи равняется 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282. Обратный перевод из десятичной системы
в шестнадцатеричную совершается тем же методом остатков, что и в двоичную. Например, возьмите число 10000. Последовательно деля его на 16 и записывая остатки, вы получите: Переводить числа
из шестнадцатеричной системы
в двоичную гораздо проще. Число 16 является двойки: 16 = 2^4. Поэтому каждую шестнадцатеричную цифру можно записать как четырехзначное двоичное число. Если у вас в двоичном числе получается меньше четырех знаков, добавляйте в начало нули. Для перевода вам нужно разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с конца, и каждую такую группу заменить шестнадцатеричной цифрой. Совет 5: Как перевести число в двоичную систему исчисленияБлагодаря ограниченности в использовании символов двоичная система является наиболее удобной для использования в компьютерах и других цифровых устройствах. Символов всего два: 1 и 0, поэтому эту систему применяют в работе регистров. Инструкция Двоичная является позиционной, т.е. позиции каждой цифры в числе соответствует определенный разряд, который равен двум в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и увеличивается по мере движения справа налево. Например, число 101 равно 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5. Широким распространением среди позиционных систем пользуются также восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная системы . И если для первых двух более применим второй метод, то для перевода из применимы оба. Рассмотрим десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.Чтобы перевести десятичное число 25 в |